什么是预期值？

在概率论中，预期值是指一个随机变量取值的平均值。它表示随机变量在所有可能出现的值上的加权平均值，其中权重为每个值发生的概率。

离散随机变量的预期值

对于离散随机变量，其可能取值为 x₁, x₂, ..., x_n，其相应的概率为 p₁, p₂, ..., p_n，其预期值 E(X) 定义为：

``` E(X) = x<sub>1</sub>p<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>p<sub>2</sub> + ... + x<sub>n</sub>p<sub>n</sub> ```

其中 p_i ≥ 0 且 ∑_i=1ⁿp_i = 1。

连续随机变量的预期值

对于连续随机变量，其分布由概率密度函数 f(x) 定义，其预期值 E(X) 定义为积分形式：

``` E(X) = ∫<sup>∞</sup><sub>-∞</sub> xf(x) dx ```

期望值的性质

预期值具有以下性质：

• 线性性：E(aX + b) = aE(X) + b，其中 a 和 b 是常数。
• 非负性：如果 X ≥ 0，则 E(X) ≥ 0。
• 协方差：E(XY) = E(X)E(Y) + Cov(X, Y)，其中 Cov(X, Y) 是 X 和 Y 的协方差。

期望值的应用

预期值在统计学和概率论中具有广泛的应用，包括：

• 计算平均值
• 风险评估
• 随机变量分布的中心趋势衡量
• 预测和决策制定

示例

**示例 1：离散随机变量**

设 X 是一个掷骰子得到点的随机变量。其可能取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6，其相应的概率均为 1/6。其预期值计算如下：

``` E(X) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) + 5(1/6) + 6(1/6) = 3.5 ```

因此，掷骰子的预期点数为 3.5。

**示例 2：连续随机变量**

设 X 是一个正态分布的随机变量，其均值为 μ，标准差为 σ。其概率密度函数为：

``` f(x) = (1 / (σ√(2π))) e<sup>-(x-μ)²/(2σ²)</sup> ```

其预期值计算如下：

``` E(X) = ∫<sup>∞</sup><sub>-∞</sub> x(1 / (σ√(2π))) e<sup>-(x-μ)²/(2σ²)</sup> dx = μ ```

因此，正态分布的预期值等于其均值。